A versão original de esta história apareceu em Revista Quanta.
No final de 2017, Ashwin Sah e Mehtaab Sawhney se conheceram quando eram estudantes de graduação no Instituto de Tecnologia de Massachusetts. Desde então, a dupla escreveu juntos 57 provas matemáticas alucinantes, muitas delas avanços profundos em vários campos.
Em fevereiro, Sah e Sawhney anunciaram mais uma conquista conjunta. Com James Leng, um estudante de pós-graduação da UCLA, eles obtiveram uma melhoria há muito procurada em uma estimativa de quão grandes conjuntos de números inteiros podem ser antes de conterem sequências de números uniformemente espaçados, como {9, 19, 29, 39, 49} ou {30, 60, 90, 120}. A prova se junta a uma longa linha de trabalhos sobre a impossibilidade matemática da desordem completa. Também marca o primeiro progresso em décadas em um dos maiores problemas não resolvidos no campo da combinatória.
“É fenomenalmente impressionante que eles tenham conseguido fazer isso”, disse Ben Green, matemático da Universidade de Oxford. Na época do lançamento do trabalho, o trio ainda estava na pós-graduação.
Sequências de números regularmente espaçados são chamadas de progressões aritméticas. Embora sejam padrões simples, eles escondem uma complexidade matemática surpreendente. E são difíceis, muitas vezes impossíveis, de evitar, não importa o quanto você tente.
Em 1936, os matemáticos Paul Erdős e Pál Turán conjecturaram que se um conjunto consiste numa fracção diferente de zero dos números inteiros – mesmo que seja apenas 0,00000001 por cento – então deve conter progressões aritméticas arbitrariamente longas. Os únicos conjuntos que podem evitar progressões aritméticas são aqueles que compreendem uma porção “desprezível” dos números inteiros. Por exemplo, o conjunto {2, 4, 8, 16,…}, no qual cada número duplica o anterior, está tão espalhado ao longo da reta numérica que se diz que representa 0 por cento dos números inteiros. Este conjunto não tem progressões.
Ashwin Sah, estudante de pós-graduação do Instituto de Tecnologia de Massachusetts, publicou dezenas de provas matemáticas.
Fotógrafa: Celeste Noche
Quarenta anos depois, em 1975, um matemático chamado Endre Szemerédi provou a conjectura. Seu trabalho gerou múltiplas linhas de pesquisa que os matemáticos ainda exploram hoje. “Muitas das ideias de sua prova cresceram em mundos próprios”, disse Yufei Zhao, orientador de doutorado de Sah e Sawhney no MIT.
Os matemáticos basearam-se no resultado de Szemerédi no contexto de conjuntos finitos de números. Nesse caso, você começa com um conjunto limitado – todo número inteiro entre 1 e algum número N. Qual é a maior fração do conjunto inicial que você pode usar em seu conjunto antes de incluir inevitavelmente uma progressão proibida? E como essa fração muda quando N mudanças?
Por exemplo, deixe N seja 20. Quantos desses 20 números você pode anotar, evitando progressões com, digamos, cinco ou mais números? A resposta, ao que parece, é de 16 a 80 por cento do pool inicial.
Mehtaab Sawhney é atraído por problemas aparentemente inocentes que revelam uma complexidade inesperada.
Fotógrafo: Cortesia de Mehtaab Sawhney
Agora deixe N até 1.000.000. Se você usar 80% desse novo conjunto, estará vendo conjuntos que contêm 800.000 números. É impossível que conjuntos tão grandes evitem progressões de cinco termos. Você terá que usar uma fração menor da piscina.
Szemerédi foi o primeiro a provar que esta fração deve encolher até zero N cresce. Desde então, os matemáticos têm tentado quantificar exatamente a rapidez com que isso acontece. No ano passado, o trabalho inovador de dois cientistas da computação quase resolveu esta questão para progressões de três termos, como {6, 11, 16}.
Mas quando você tenta evitar progressões aritméticas com quatro ou mais termos, o problema se torna mais difícil. “O que adoro neste problema é que parece tão inocente, mas não é. Realmente morde”, disse Sawhney.
Isso ocorre porque progressões mais longas refletem uma estrutura subjacente que é difícil de ser descoberta pelas técnicas matemáticas clássicas. Os números x, sim e z em uma progressão aritmética de três termos sempre satisfaz a equação simples x – 2sim + z = 0. (Tome a progressão {10, 20, 30}, por exemplo: 10 – 2(20) + 30 = 0.) É relativamente fácil provar se um conjunto contém ou não números que satisfazem este tipo de condição. Mas os números numa progressão de quatro termos têm de satisfazer adicionalmente a equação mais complicada x2 -3sim2 +3z2 – c2 = 0. Progressões com cinco ou mais termos devem satisfazer equações ainda mais elaboradas. Isto significa que conjuntos contendo tais progressões exibem padrões mais sutis. É mais difícil para os matemáticos mostrar se tais padrões existem.
No final da década de 1990, Timothy Gowers, um matemático agora no Collège de France, desenvolveu uma teoria para superar este obstáculo. Mais tarde, ele recebeu a Medalha Fields, a maior honraria da matemática, em parte por esse trabalho. Em 2001, ele aplicou suas técnicas ao teorema de Szemerédi, provando um melhor limite para o tamanho dos maiores conjuntos que evitam progressões aritméticas de qualquer comprimento. Embora os matemáticos tenham utilizado a estrutura de Gowers para resolver outros problemas nas duas décadas seguintes, o seu registo de 2001 permaneceu inalterado.
James Leng, estudante de pós-graduação na UCLA, recentemente fez progressos em um dos maiores problemas em aberto da combinatória. Mas esse não era seu plano original.
Fotógrafo: Cortesia de James Leng
Em 2022, Leng – então no segundo ano de pós-graduação na UCLA – começou a compreender a teoria de Gowers. Ele não tinha o teorema de Szemerédi em mente; em vez disso, ele esperava responder a uma questão técnica relacionada às técnicas que Gowers havia desenvolvido. Outros matemáticos, temendo que o esforço necessário para resolver o problema eclipsasse o resultado, tentaram dissuadi-lo. “Por um bom motivo”, disse Leng mais tarde.
Por mais de um ano, ele não chegou a lugar nenhum. Mas, eventualmente, ele começou a fazer progressos. Sah e Sawhney, que estavam pensando em questões relacionadas, aprenderam sobre seu trabalho. Eles ficaram intrigados. “Fiquei surpreso que seja possível pensar assim”, disse Sawhney.
Eles perceberam que a pesquisa de Leng poderia ajudá-los a progredir ainda mais no teorema de Szemerédi. Em poucos meses, os três jovens matemáticos descobriram como obter um limite superior melhor para o tamanho dos conjuntos sem progressões de cinco termos. Eles então estenderam seu trabalho para progressões de qualquer extensão, marcando o primeiro avanço no problema nos 23 anos desde a prova de Gowers. Gowers mostrou que, à medida que seu conjunto inicial de números aumenta, os conjuntos que evitam a progressão que você pode criar ficam relativamente menores em uma determinada taxa. Leng, Sah e Sawhney provaram que isso acontece a um ritmo exponencialmente mais rápido.
“É uma grande conquista”, disse Zhao. “Este é o tipo de problema que eu realmente não sugeriria a nenhum aluno porque é incrivelmente difícil.”
Os matemáticos estão ainda mais entusiasmados com o método que o trio usou para chegar ao novo limite. Para que tudo funcionasse, eles primeiro tiveram que fortalecer um resultado mais antigo e mais técnico de Green, Terence Tao, da UCLA, e Tamar Ziegler, da Universidade Hebraica. Os matemáticos sentem que este resultado – uma espécie de elaboração da teoria de Gowers – pode ser ainda melhorado. “Parece que temos uma compreensão imperfeita da teoria”, disse Green. “Estamos apenas vendo algumas sombras disso.”
Desde que concluíram a prova em fevereiro, Sah e Sawhney se formaram. Mas a colaboração da dupla ainda não diminuiu. “Sua força incrível é pegar algo que é extremamente exigente tecnicamente, compreendê-lo e aprimorá-lo”, disse Zhao. “É difícil exagerar o nível de suas realizações gerais.”
História original reimpresso com permissão de Revista Quanta, uma publicação editorialmente independente do Fundação Simons cuja missão é melhorar a compreensão pública da ciência, cobrindo desenvolvimentos e tendências de pesquisa em matemática e ciências físicas e biológicas.
